最速降下曲線-04 - "a"，とは

・a，とは

最速降下曲線は，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
x &= a ( \theta - sin \ \theta)\\
y &= a (1 - cos \ \theta) \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となりました．この式はサイクロイド曲線なので，a,はサイクロイド曲線の半径となります．

では，実際に，高さHから落下し，Lまで転げ落ちる場合のaとH，Lとの関係はどうなるのでしょう？

実際のサイクロイド曲線は，

この図のように，a，を変化させることにより，
落下途中
ちょうど水平
一旦下がって上昇
など，いろいろな場合が考えられます．

高さ，到達水平距離，からaを求めたいが，どうもややこしいらしい計算になるのです(後ほど述べます)
ということで，
　曲線の傾きが0となる点
を考えていきましょう．．

t=0，において，y=H，の場合を考えます．y軸の方向を正にとると，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
x &= a ( \theta - sin \ \theta)\\
y &= H - a (1 - cos \ \theta) \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

最終地点，x=L，においては，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
x &=L = a ( \theta_L - sin \ \theta_L)\\
y &=0 = H - a (1 - cos \ \theta_L) \\
H &= a (1 - cos \ \theta_L) \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となります．曲線の傾きは，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dx}{d \theta}} \\
\frac{dx}{d \theta} &= a (1 - cos \ \theta)\\
\frac{dy}{d \theta} &= -a \ sin \ \theta \\
\frac{dy}{dx} &= \frac{-a \ sin \ \theta}{a (1 - cos \ \theta)} = -\frac{ sin \ \theta}{1 - cos \ \theta} \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

傾きは，Lの時点で0となるので，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\left. \frac{dy}{dx} \right|_{\theta = \theta_L} &= 0 \rightarrow sin \ \theta_L = 0 \\
\theta_L =n \pi = \pi
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となります(1回目の水平なので，n=1)

したがって，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
H &= a (1 - cos \ \theta_L) \\
&= a (1- (-1)) \\
&= 2a \\
a &= \frac{H}{2} \\
L &= a ( \theta_L - sin \ \theta_L)\\
&= a (\pi - 0) \\
&= \pi a \\
H &= 2a, L = \pi a \rightarrow \frac{L}{H} = \frac{ \pi}{2} \\
L &= \frac{ \pi}{2} H \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

と，Hを設定すれば，a，Lを求めることができます．

開始直後には，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\phi &= 0 \rightarrow \theta = 0 \\
\frac{dy}{dx} &= -\frac{ sin \ \theta}{1 - cos \ \theta} \\
&= -\frac{1}{tan \frac{\theta}{2} } \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$
θ=0の時点で，分母が0となるので，傾きは-∞となります．

もちろん，最終地点においては，傾きは0となります．

到達時間は，ここ，で述べたように，

微小時間と微小速度との関係は，$ dt = ds/v $，となるので，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
t &= \sqrt{\frac{a}{g}}\ \theta \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となるので，最終地点のθはπなので，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
T &= \sqrt{\frac{a}{g}}\ \pi \\
&= \sqrt{\frac{H}{2g}}\ \pi \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となります．

H=1 m, g=9.8 m/s²，とすると，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
T &= \sqrt{\frac{1}{2 \times 9.8}}\ \pi = 0.7096 \ s\\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となります．

次にこの場合において，直線状の傾斜を転げ落ちる場合の時間を考えていきましょう．